【新刊】問題解決に役立つ数学(PHP研究所)

 

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12/12にPHP研究所さんから出る新刊『問題解決に役立つ数学』の見本が届きました!\(^o^)/

デザインは寄藤文平さん杉山健太郎さん文平銀座)!寄藤さんは、私がこのブログでもご著作を紹介させていただいたことのある大好きな作家&イラストレーターさんなので、編集者の方からデザインが寄藤さんだと伺ったときはとても嬉しかったです。

あ~、好きだなあこのデザイン♪(*´∀`*)

さて、本書の目的は数学で培った問題解決能力を普段の生活や仕事に活かせるようになることです。私は本書を
「社会人になったら使わないのに、なんで数学なんて学ぶ必要があったの?」
という疑問にお答えするつもりで書きました。

ただし、数学と言っても題材は「整数」「確率(場合の数)」に限っています。なぜならこの2つの分野は誰にでも問題の意味が理解しやすく、また計算そのものは(小学生でもできるくらい)簡単なのに内容がたいへん深いからです。

数学が日常生活にいかに役立つものかを実感してもらうために、数学を離れた話題も随所に盛り込みました。例えばディズニーランドとか稲盛和夫氏とか老子とかバレンティン選手なんかも登場します。
(^_-)-☆

ご興味のある方は是非、お手に取ってみてくださいm(_ _)m

 

目次

はじめに 問題解決に役立つ数学

第1章 なぜ整数と確率なのか?

第2章 整数篇

  • 素を探る(素因数分解)
  • 情報を増やす(積をつくる)
  • 解をしぼりこむ(必要条件)
  • 周期性を見つける(合同式)
  • 抽象化する(文字式)
  • 間接的に証明する(背理法と対偶)
  • 足がかりを見つける(特殊解)
  • 数学的に推論する(帰納と演繹)
  • 予測の正しさを証明する(数学的帰納法)

第3章 確率篇

  • 100%を証明する(鳩の巣原理)
  • ものの数え方(順列と組み合わせ)
  • 逆の視点を持つ(余事象)
  • 「かつ」と「または」を理解する(ド・モルガンの法則)
  • 問題を置き換える(1対1対応の利用)
  • 「同様に確からしいか」を考える(ラプラスの確率)
  • 未来に目を向ける(期待値)
  • 原因をつきとめる(ベイズの定理)

コラム 卒業試験

おわりに 数学を仕事や生活に活かすために

 

「はじめに」より抜粋

情報化社会となった現代では価値観は驚くほど多様化しています。マジョリティに与しておけば安心とは言えなくなりました。加えて、一度解法の見つかった問題はすぐにアルゴリズムがつくられ、コンピュータを使って自動的に処理されるようになります。既存の問題を型どおりに解決できることの価値はどんどん下がっていると言えるでしょう。私は、言語として数学を操る言わば「数学リテラシー」が今ほど求められている時代はかつてなかったのではないかと思っています。現代に生きる私たちが仕事や生活の中で本当に解かなくてはならないのは、誰も解いたことのない新しい問題です。これを解決するために、論理的≒数学的に一歩一歩正解に近づいていく問題解決能力は文系・理系を問わず、現代人に必須の能力ではないでしょうか。昨今の「数学ブーム」はそのことに気づき始めている人が多くなった証拠だと思います。

 

【TV出演】NHK(Eテレ)「テストの花道」~もどりま表の活用例他(数学って面白い!)

 

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昨日放送の『テストの花道(NHK Eテレ)』に出演させていただきました。8月10月に続き3度目の機会に恵まれたことを感謝しています。今回のテーマは『数学って面白い!』。前回と前々回はインタビューでの出演でしたが、今回はスタジオでタレントさん相手に授業をさせてもらいました。
(^_-)-☆

数学苦手克服のポイントとして今回お伝えしたかった事は

・公式を丸暗記せずに、証明を理解する。

・『もどりま表』を使ってわかるところまで戻る。

の2点です。

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公式を丸暗記せずに、証明を理解する

「授業」の中では、三平方の定理の証明をピタゴラスの方法とアインシュタインの方法で2通り行いました。ピタゴラスの方法については、以前このブログでも紹介したものです。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の誕生秘話と証明&『大人のための数学勉強法』P129の問題の解説 < 永野数学塾塾長日記(永野裕之のblog)
アインシュタインの方法は3つの直角三角形の相似を使います。

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今回生徒として来てくれたういさん(佐藤初さん)ほんぴぃさん(小林歩乃佳さん)

「すごい!」
「はじめて数学にトキメキました♪」

などと感動してくれたのですが、番組は30分という限られた時間なのでこの部分はカットになりました。
(∩_∩;)

小中高で学ぶ12年間の算数・数学には、人類の誇る数学の賢人たちが到達した叡智の結晶が詰まっていますが、その本質はプロセスにあります。結果を暗記してそれに数字をあてはめるのは数学でも何でもありません。番組の最後に桜井進先生が
「数学の感動体験をつくることが大切です」
と仰っていました。私もまったく同感です。公式や定理の証明を通して
「あ~人間って賢いなあ」
という感動を味わえるようになれば、数学はきっと面白くなります!

常々申し上げている通り、数学ができるようになる唯一の道は丸暗記をやめることなのです。

数学が得意な人と苦手な人の違い < 永野数学塾塾長日記(永野裕之のblog)

 

もどりま表

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『もどりま表』は私が拙書『大人のための中学数学勉強法』のあとがきでまとめたものです。『テストの花道』では8月に出演させていただいた時にもご紹介しました。

 

あまり知られていないことのようですが、中学数学の各単元は大きく

  1. 数と式
  2. 関数
  3. 図形
  4. 資料の活用

に分かれています。これは指導要領にも明記されている分類です。

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高校数学についてはこの分類は必ずしも明確ではなく、例えば「ベクトル」などいくつかの分野の内容が横断的に含まれる単元もありますが、積み重ね学習である数学において今勉強している単元がどの分野の単元なのかを意識することはとても重要です。分からなくなったら、その分野の単元を少しずつ前にたどり
「これなら分かる」
と思えるところまで戻りましょう。そこから丹念に復習すればきっと分かるようになります。

番組では、ういさんとほんぴぃさんのお二人に『もどりま表』の活用を実践してもらいました。

 

『もどりま表』の活用例(その1)

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私がういさんに用意した問題はこれです。

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これは数IIの指数関数のグラフの問題ですが、どうやらグラフの平行移動についての理解が不十分のようでした。そこで同じ関数の分野で「指数関数」→「2次関数」と戻って、放物線のグラフを書きながらグラフの平行移動について復習しなおしました。

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すると…

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大正解\(^o^)/

この問題の詳しい解答はこちら(クリックで拡大します)↓

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『もどりま表』の活用例(その2)

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ほんぴぃさんには、数Ⅰの単元「数と式」からこんな問題を用意しました。

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この問題は一見簡単に見えますが、以下のように誤答してしまう人が非常に多い問題です。

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正解するためには、√(ルート)について

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という定義を正しく理解し、

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であることが分かっていなくてはいけません。もちろん絶対値についての理解も必要です。そこで同じ「数と式」の分野の中で「平方根」→「絶対値」と戻りました。

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すると…

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こちらも大正解\(^o^)/

詳しい解答はこちら↓

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NHKさんからまたこうして貴重な機会が頂けたことは大変励みになりました。公式の証明や『もどりま表』で、数学の苦手を克服する人が1人でも増えてくれれば一数学教師として大変嬉しく思います。

今回の放送の詳細は↓

NHK テストの花道 – 過去の放送 -「数学って面白い!」
なお、再放送は2013年12月7日(土)10:00~の予定です。m(_ _)m

本名徹次さんとベトナム国立交響楽団

 

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録画しておいた「ザ・ノンフィクション 『恋するバイオリン~素顔のベトナム国立交響楽団~』(フジテレビ 2013/11/24放送)を観ました。

本名徹次さんは、私が39年の生涯で最もお世話になった方です。そんな大恩人ではありますが、いつも最大限の尊敬と親しみをこめて「てっちぃ」と呼ばせていただいていますので本記事でも「てっちぃ」と書かせていただきます。m(_ _)m

私が中学生の頃から指揮者の井上道義先生に憧れていたことは以前にもここに書きましたが、てっちぃは道義先生の一番弟子でいらっしゃいます。大学3年生の時、道義先生のご紹介で初めててっちぃとお会いしたときの衝撃と感動は今も忘れることができません。私はそれまでの人生で、てっちぃほどまわりの人を幸せな気持ちにさせられる人に会ったことがありませんでした。

その時の感動をどうしてもお伝えしたくてご自宅に宛てて手紙を書いたところ、しばらくしててっちぃご自身から
「クリスマスパーティーに来ませんか?」
という嬉しいお誘いのお電話がありました!私としては、会って間もない自分のような者を招いて下さるのだから、きっとたくさんの方が集まるパーティーだろうと思っていたのですが、伺ってみるとなんとゲストは2人!
((((;゚Д゚))))
私は大いに緊張しました。そしてまた感動しました。

それからというもの、私は学業そっちのけ(?)で、てっちぃに付いてまわり、全国各地の様々なコンサートのリハーサルと本番にお邪魔しました。基本的に弟子をお取りにならないてっちぃは私のことも「友達だよ」と言って下さっていましたが、私の方は弟子あるいは付き人のような気持ちでずっと側に居させていただきました。

私の学友以外の人脈のほとんどはてっちぃに作って頂いたものです。
てっちぃは人を集めてワイワイやるのが大好きでいらっしゃいますが、いつも最高のタイミングで最高の出会いの場を作って下さいますので、てっちぃを通じて知り合いになった方とはとても深い繋がりになります。

そして、音楽家としてのてっちぃマエストロはいわゆる天才です。ボキャブラリーが貧困でごめなさいm(_ _)m。でも他の言葉では形容し難いものがあります。ご本人はその天才性にお気づきでない(?)のかいつも謙遜していらっしゃいますが、てっちぃのようにどんな時も自然な音楽をつくれる音楽家は本当に稀有な存在だと思います。

 

ベトナム国立交響楽団

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KAJIMOTO ©KOJIMA Ryusei ]

そんなてっちぃがベトナム国立交響楽団を初めて指揮されたのは2000年。翌2001年にはミュージック・アドヴァイザーに就かれ(現在は音楽監督・首席指揮者)、以来このオーケストラのためにそれはそれは大変な力を注いでこられました。昨年(2012年)はその長年の功績に対してベトナム政府より文化功労賞を授与されましたが、私からすれば受賞は遅すぎたくらいです。

それほどこのオーケストラに対しててっちぃが注いでこられたエネルギーは破格です。番組でも
「(このオーケストラとの関係は)運命だと思います
と仰っていましたが、確かにそう思っていらっしゃるのでなければあれほどの愛情は注げないと思います。もちろんその成果もめざましく、これまでに「千人の交響曲(第8番)」ベトナム初演を含むマーラー・チクルスやベートーヴェン・チクルスを完遂、日本、アメリカ、中国などでの海外ツアーも実現されました。

私自身もアシスタントとして何度もハノイに呼んでいただき、2007年にはオールバッハプログラムで指揮台にも立たせていただきました。下の画像は当時のチラシと終演後の写真です。

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てっちぃに呼んでいただくまでベトナムという国には行ったことがありませんでしたが、とにかく人が温かいのとご飯が美味しいことに私はすっかり魅了されました。そして、ハノイに流れるゆったりとした時間に身を委ねていると、きっと日本もかつてはこうだったんだろうなあという何とも言えない郷愁と、自分がアジアの一員であることの喜びを感じたものです。

番組に登場した今井信子さんのような超一流の演奏家がハノイに何度も足を運ぶのは、もちろんてっちぃのお人柄と熱意に打たれてのことだとは思いますが、ハノイの人と街の魅力にも背中を押されているに違いありません。

番組の最後に出てきた日本ツアーの初日、みなとみらいホールでの本番は私も客席で聴かせていただきました。かねてよりてっちぃが今回のツアーを「夢なんだよね」と仰っていただけに、胸が熱くなりました(下の写真は終演後の楽屋で撮っていただいたものです)。

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最近はてっちぃにお目にかかれる機会がめっきり少なくなってしまいましたが、いつも「足を向けては眠れない」、そんな気分でいます。

てっちぃマエストロとベトナム国立響の益々のご活躍をお祈り申し上げます。
あー、またハノイに行きたいなあ(*´∀`*)。

【新刊】根っからの文系のためのシンプル数学発想術(技術評論社)

 

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来週11/8(金)に発売される新刊「根っからの文系のためのシンプル発想術(技術評論社)」の見本が届きました!\(^o^)/

私の塾で短期間に数学の成績を伸ばす生徒さんに共通している点は、数学が苦手でも国語は得意だという点です。文章を読んだり書いたりすることが得意な生徒さんは、(本人は気づいていなくても)既に論理的にものごとを考えるための下地が十分にできあがっているので、ちょっとしたきっかけを与えるとあっという間に数学の力を伸ばします。そういうケースは跡を絶ちません。私はいつしか「国語力こそ数学力の源である」が持論になりました。

この本は文系の人が元来持っている数学の力、数学的発想力を呼び覚ますための本です。

本書を通して
「ああ、自分にも数学的に発想する力があったんだ」
と気づいてもらった上で数学的発想術を意識してもらえるようになること、それがこの本の最大にして唯一の狙いです。

とは言え、文系の方は数式にアレルギーがあることもよく知っています。そこで本書では数式をできるだけ使わないようにしました。レイアウトも縦書です。関連する数学の内容を紹介する部分(僅かです!)は横書きですが、横書きの部分は読み飛ばしてもらっても全体の理解には差し障りがないように配慮してあります。

数字や数式を使わずに数学的に発想するコツをお伝えしていく、というのは我ながら高いハードルでした。でも、数学力の源は豊かな国語力であることを示すためなら、そして数学を学ぶ意味と意義を分かってもらうためなら、挑む価値は大いにあったと思っています。
…この挑戦が成功であったかどうかの判断は読者の皆様にお任せしますm(_ _)m

追記(2013年11月14日):
日本経済新聞夕刊(2013年11月13日)の「エンジョイ読書」の欄に書評が載りました!

「元宇宙科学者でカリスマ数学塾の塾長を務める著者が、『自称文系』のあなたに、あの手この手で数学センスを伝授。食わず嫌いが治り、数学が大好きになる!(竹内薫)」

新聞に書評が載るのは初めての経験で、しかも尊敬する竹内薫先生に評していただいてとても嬉しいです♪

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追記2(2013年11月22日):
Gihyo.jpさんに寄稿しました。

【特別寄稿】今すぐ役立つ!文系のための数学的発想講座 ──演繹法と帰納法|gihyo.jp … 技術評論社

追記3(2013年12月12日):
歌人の佐藤真由美さんが嬉しいご感想をtweetして下さいました。

 

目次

はじめに:あなたは本当に「文系」ですか?

第1章:数学力を呼び覚まそう

  • 超数学的現代文読解法
  • 数学力を意識する

第2章:数学力とは何か

  • 算数と数学は違う
  • 誰もが持っている数学力
  • 数学力を伸ばす秘訣は覚えないこと
  • ヒラメキが必然になる

第3章:数学発想術~7つのパターン~

  • 7つのパターンで問題解決!

(1)整理する

  • 隠れた性質をあぶり出す分類
  • 血液型占いはなぜ人気があるのか?
  • 「図形の性質」を学んだ理由
  • 科学史に大きな足跡を残した「数学的」な分類
  • 掛け算的な整理
  • 次元が増えると世界が拡がる
  • Will-Skillマトリクス
  • 効率の良いチェックリストを持つ
  • ECRSチェックリスト(改善の4原則)

(2)順序を守る

  • 選ぶときは大→小
  • 必要条件と十分条件
  • 合理的に選択するための原則
  • 「証明」について
  • 正しい証明は小→大
  • 「風が吹けば桶屋が儲かる」は証明になっているか?

(3)変換する

  • 言い換える
  • 同値変形を活用する
  • 関数を理解する
  • 関数こそが真の因果関係
  • ①「原因」の候補が独立変数になっているかどうか
  • ②「原因」によって結果が1通りに決まるかどうか

(4)抽象化する

  • 抽象化=本質をあぶり出す
  • 共通する性質を抜き出す
  • 生活の中に溢れる抽象化
  • 抽象化の練習をしよう
  • モデル化
  • グラフ理論
  • ケーニヒスベルク問題
  • グラフ理論の応用

(5)具体化する

  • 具体例を示す
  • 「喩え」は具体例の進化形
  • 名言に学ぶ上手な喩えの作り方
  • 具体と抽象を往復する
  • 演繹法と帰納法
  • 演繹法と帰納法の欠点
  • 演繹と帰納の使い分け

(6)逆の視点を持つ

  • 怒りを鎮めるABC理論
  • 逆・裏・対偶
  • 背理法
  • アルキメデスと王冠
  • 背理法の落とし穴

(7)数学的美的センスを磨く

  • 指揮者の勉強
  • クラシック音楽の特徴
  • 和音と和音記号
  • 数学と音楽の共通点
  • 合理性を求める
  • 対称性を使う
  • 統一性を求める

 

中身をちょっとだけ紹介します(^_-)-☆

「第1章:数学力を呼び覚まそう」より
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「第3章:数学発想術~7つのパターン(1)整理する」より
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「第3章:数学発想術~7つのパターン(3)変換する 」より
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「第3章:数学発想術~7つのパターン(4)抽象化する 」より
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「第3章:数学発想術~7つのパターン(7)数学的美的センスを磨く 」より
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「数式部分」
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本書はなかなか実験的な試みだと思いますし、題材もワインだったり、惑星物理だったり、音楽だったりとかなり好き勝手に書かせていただきましたが、こういう本を世に出すことにご賛同をいただき、貴重な機会を与えて下さった技術評論社さんには心から感謝しております。

本書によって、1人でも多くの「文系」の方が数学コンプレックスを払拭してくれることを切に願っています。

【TV出演】NHK(Eテレ)「テストの花道」~ゴールから考える!(証明問題の解き方)

 

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昨日放送されたNHK Eテレ「テストの花道」に出演させていただきました。前回8月に続いて2回めになります。今回のテーマは「ゴールから考える!」でした。[※ 再放送は10/19(土)午前10時~]

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900mlと400mlのコップを使って600mlを量る

「ゴールから考える」のトレーニングとして最初にやった問題はこれです。

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どうしたら良いでしょう?なかなか手ごわそうですね…(・_・;)

コップの問題-2

 

さあ、ゴールをイメージしましょう。600mlの水は400mlのコップには入りませんから、最後に水は900mlのコップに入っているはずですね。つまり、私たちがイメージするべきゴールはこうです。

コップの問題-5

ではこのゴールの1つ前はどのような状態でしょう?それは…

コップの問題-3

そうなんです!ゴールの1つ前を考えれば300mlを量り取れればいいことが分かります。と、言っても300mlを量るのもそう簡単ではありませんね…そこで!さらにこの1つ前(ゴールの2つ前)を考えてみましょう。今度は400mlのコップを使います。

コップの問題-4

と、100mlが余計なことが分かります。つまりこの問題は100mlを量り取ることさえできれば、上のプロセスを逆にたどることで正解を導くことができるのです!具体的には次のようにします。

コップの問題-1

ちなみにスタジオでは所さんが見事に正解されていました。さすが!

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「ゴールから考える」を証明に活かす!(例:相加・相乗平均)

証明が苦手

証明というのは、仮定から結論が導かれるプロセスを論理的に表すことです。

証明を苦手にしている生徒さんはたくさんいます。特に
「どう始めたらいいか分からない…(・・?」
と、最初の糸口が見つからない人が多いようです。そんなときこそ「ゴールから考える」の出番です!証明問題というのは先に結論がみえているので、「ゴールから考える」視点が非常に役立ちます。

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数IIで出てくる「相加平均・相乗平均の関係式」の証明を例題にして、「ゴールから考える」の使い方を見て行きましょう。

【例題】

相加平均・相乗平均

証明に入る前に相加平均と相乗平均の違いを確認しておきますね(^_-)-☆
次の図のように相加平均というのはまさに「高さの違うものを平らに均(なら)す」イメージですが、相乗平均はある長方形と同じ面積の正方形を作ったときの一辺の長さのイメージです。

相加平均・相乗平均-1

さて、それでは証明の糸口を見つけるためにゴールから考えてみましょう。
次のようになりまsね。

相加平均・相乗平均-3

特に条件がないのに0以上になるということは…

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と考えられればしめたものです。以上を逆にたどれば、証明の完成です!

【解答例】

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逆の視点を持てば、ヒラメキが必然になる!

「ゴールから考える」という逆の視点を持って問題を解決すると、この視点を持たない人は
「なんてヒラメキのある人なんだっ!∑(・ω・ノ)ノ」
と驚いてくれます。でも当人は特別なインスピ―レーションに任せて解いているわけではありません。至極自然の道筋をたどって解いているはずです。つまり「ゴールから考える」という視点を持てるようになれば、他人にとってはヒラメキであることが自分にとっては必然になります。

また、ものごとを色々な角度から見られるようにするというのは数学を学ぶ大きな目標の一つですが、「逆の視点」は、正攻法以外の第2の視点としては最も簡単なものです。柔軟な発想を手に入れたいと思う人はまずこの「ゴールから考える」という逆の視点を磨いてみてください。そうすれば第3の視点、第4の視点もきっと持てるようになります。

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「テストの花道」さんにまた声をかけていただいたことはとても励みになりました。数学を苦手な人を1人でも減らしたい、数学を学ぶ意味と意義、それに楽しさをたくさんの人に知ってもらいたいというのは私のライフワークですので、TV出演という機会は大変ありがたいです。これらからも精進します!

昨日の詳しい放送内容はコチラ。番組の後半ではWコロンのねづっちさんが「ゴールから考える」をなぞときに応用されていて面白かったです!

NHK テストの花道 – 過去の放送 -「ゴールから考える!」

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