【TV出演】NHK(Eテレ)「テストの花道」~高校1年生や2年生がやっておくべき数学の基礎固め

 

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昨日放送のテストの花道(NHK Eテレ)に出演させていただきました。昨年の8月10月12月に続き4度目の貴重な機会に恵まれた事に感謝しています。今回のテーマは『今がチャンス!花道流基礎固め術』。私は全国の塾や予備校の先生が「高校1年生や2年生が今のうちにやっておくべきこと」として挙げられた項目のランキングについてコメントさせていただきました。

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数学の基礎固めランキング

気になる数学の基礎固めランキングはこうでした。

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数列について

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数列に関連する基礎固めのポイントは以下の5つです。

  1. 等比数列の和の公式は忘れてしまう公式ワースト3の 1つ(永野数学塾調べ)。
  2. 階差数列、漸化式を通して「相対化(引き算)」の極意をつかむ。
  3. 漸化式の様々な解法は数学的な考え方の宝庫(丸暗記せずに意味を考える)。
  4. Σ計算の訓練。
  5. 数学的帰納法(数列の単元の最後)の意味と使い方を理解する

等比数列の和の公式、大丈夫ですか?(^_-)-☆こういうものでしたね。

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ちなみにワースト3の残り2つは

  • 二項定理
  • 点と直線の距離の公式

です。不安な人は是非復習しておいてくださいね!(`・ω・´)ゞ

 

二次関数について

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三角関数、指数関数、対数関数、微分・積分などあらゆる場面に顔を出す二次関数に関連する基礎固めのポイントは以下の4つです。

  1. 「最大値・最小値問題」の取り組み方を学ぶ。
  2. 関数におけるグラフの重要性を認識する。 
  3. グラフの平行移動の基礎を学ぶ。
  4. 平方完成(という式変形)の習熟。

 

数学の「基礎」とは何か

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数学の場合、基礎を固めると言っても公式や解法をただ暗記するだけでは不十分です。公式と解法については次の2つを守りましょう。

・公式:証明ができるようにする。

・解法:なぜそうすると解けるのかを考える。

常々申し上げている通り、数学というのは「未知の問題に対応できる力」を養う学問です。上の2つはそのための、まさに『基礎』になります。

 

応用問題を解くために必要なこと

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Wikipedia

鉄鋼王のアンドリュー・カーネギーはかつてこう言いました。

大きな問題に直面したときは、その問題を一度に解決しようとせずに問題を細分化し、その1つ1つを解決するようにしなさい。

「基本問題はできるけれど応用問題が解けない」

と悩んでいる人は少なくないと思いますが、数学の場合応用問題が解けるようになるコツは次の2つです。

・“そもそも”の最初に戻る

・困難を分割して考える。

行き詰まったときは、原理・原則・定義に立ち戻る。これは数学のみならずすべての問題解決の基本であると私は考えます。逆に言えば、見たことのない問題を解こうとするときには

「円周率とは“そもそも”何か?」
「方程式とは“そもそも”何か?」
「関数とは“そもそも”何か?」

等の「最初」に戻ることが答えへの糸口を与えてくれます。

また、数学が得意な人は異口同音に

「どんな応用問題も基本問題の組み合わせに過ぎない」

と言います。もちろん世界中の人が寄ってたかっても歯がたたないような正真正銘の難問も世の中にはありますが、少なくとも大学入試レベルにおいては「難問」と言われる問題のほとんどは、基本問題の組み合わせに過ぎないことがほとんどです。

“そもそも”の最初に戻るにせよ、基本問題に分解するにせよ必要なのは本当の意味での基礎力です。逆にしっかりとした基礎力さえあれば、応用問題はきっと解けるようになります。

頑張ってください!
応援しています!!∩(*・∀・*)∩ファイト♪

※再放送は、2月22日(土)午前10時~10時30分です。

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【雑誌掲載】プレジデントファミリー算数大特集~「数学でつまずかないために算数の時から気をつけること」

 

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明日発売のプレジデント・ファミリー2014年3月号(←もう!)に、昨年末に取材して頂いたものが掲載されております。

 

取材テーマは 「実はカンタン!名教師12人の大作戦!わが子にミラクルが起きる『7日間プログラム』」でした。

私は中学受験は専門外ですし、普段小学生の生徒さんを教えているわけではないので算数に関する取材はいつもお断りしているのですが、今回は「中学受験に限ったものではなく、中学・高校の数学に繋がる基礎固めとしてお話いただきたい」という趣旨だったのでお受けしました。

「数学でつまずかないために算数の時から気をつけること」として私がお伝えしたかったのは(相変わらず)「丸暗記禁止!」ということです(^_-)-☆

 

数学が苦手になる人の共通点

私の塾の門を叩いてくれる人は、個別指導という性格上からかほとんどが数学が大の苦手になってしまった人たちです。彼ら彼女らに共通している点は2点。

  • 中学2年生の途中くらいまではそんなに苦手じゃなかった。
  • 「数学の勉強」=「解法を暗記して問題集を何回も解き直すこと」と思っている

原因も共通しています。

算数で身に染み付いてしまった丸暗記勉強法で数学に取り組んだから

です。

私は常々「算数とは既知の問題を解くためのもので、数学は未知の問題を解くためのもの」と言っています。それぞれの教科の目指すものはまるっきり違うのですから取り組む姿勢が違うのも当然です。

ただ、厄介なのは中学1年~中学2年くらいの間はまだ履修範囲が狭くて作れる問題のヴァリエーションが少ないので「丸暗記勉強法」でもそこそこの点数が取れてしまうところです。そのために「算数から数学に名前は変わったけれど、算数と同じようにやり方を覚えればいいんだな!」と勘違いしてしまう人が続出します。そうならないためにも算数の時から、たとえ解法や公式を丸暗記すれば解けてしまうような問題に対しても
「なぜこれで解けるのか?」
「この公式の意味は何なのか?」
を考える習慣を身につけておくことは大変重要です。

そこで今回の取材では、割り算には2つの意味があることや、難しい文章題には難しい理由があることなどを通して、公式や解法の意味を考えることの大切さをお話しました。また最後にはおまけ(?)としてこのブログでも書きました「計算ミスする4つの理由」を紹介しています。

今号のプレジデントファミリーは「1週間で算数を得意にする!」をテーマに80ページを超える大特集が組まれています。色々と興味深い記事が満載ですので、ご興味のある方はどうぞお手に取ってみてください。
m(_ _)m

【監修】おとなの算数 (日経ホームマガジン)

 

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今年の春に一部を監修させていただいた日経おとなのOFFの記事が、ムックになりました!
全国のセブンイレブンを中心に販売されるそうです。\(^o^)/ 本誌に比べてぐっとコンパクトサイズで持ち運びがしやすく、またレイアウトも読みやすくなっています。しかも(←ここ重要)お値段は500円と相当リーズナブルです!

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内容は

  • 算数で脳のアンチエイジング
  • 数学が得意になる!6つのアプローチ
  • “岩波メソッド"2桁×2桁の暗算を2時間でマスターする
  • “高濱式メソッド"「算数脳」をつくる
  • 判断力、分析力が必要な“難問"で脳トレ
  • 幾何学がつくり出す建築美
  • 時空を超えた数学で表す美の基準
  • おもしろ数学小噺
  • 和算入門 世界最高峰だった江戸時代の算術に迫る
  • 数学界のオールスターズ ひらめき列伝

など実に盛りだくさん!これで500円は本当にお買い得だと思います(しつこい)。

どの記事も大変興味深いのですが、個人的には「和算入門」が特に面白かったです。鎖国中の江戸時代にあって和算が世界の最高水準にあったのは、先人が(敢えて)解を付けずに出した問題に腕に憶えのある者が謎解き感覚で挑戦する「遺題継承」という文化があったからだと言われています。当時の江戸では学者でもなんでもない庶民がなんと「8次方程式」に挑戦していたそうです。こんな国は世界中を探しても他に類を見ません。私たち日本人のDNAにはそんな旺盛な知的好奇心が刻まれているのです!本書には当時の江戸庶民が夢中になった代表的な和算の問題がたくさんの図版と共に大変分かりやすくまとめられています。お正月休みに挑戦してみるのもいいかも!?(^_-)-☆

 

数学が得意になる!6つのアプローチ

私が監修させて頂いたのは「数学が得意になる!6つのアプローチ」です。タイトルだけご紹介します。

  1. 因果関係をおさえる(必要・十分を考える)
  2. 視覚化する
  3. 帰納的に考える
  4. 逆を考える
  5. ゴールからスタートする
  6. 対称性を見つける

この記事に関してはWEB版日本経済新聞でもご覧いただけます↓

ここが違う 数学が苦手な人、得意な人の「考え方」 :日本経済新聞

一応Amazonのリンクも貼っておきますが、セブンイレブンの方が手に入りやすいかもしれません
(^_-)-☆

 

【追記 2014年1月5日】
塾の近所のセブンイレブン(大和中央林間3丁目店)にもありました!(∩_∩)
日経ホームマガジン「大人の算数」セブンイレブン

【翻訳】『大人のための数学勉強法』の台湾版(繁体字)が届きました!

 

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大人のための数学勉強法の台湾版(中国語 繁体字)が届きました\(^o^)/この本の翻訳は簡体字に次いで2か国語目ですが、多くの人に読んでもらえる機会を頂けるのは本当に有難いことです。
感謝m(_ _)m

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左下が簡体字版、右下が今回の繁体字版
繁体字版はオリジナルにかなり近くて、遠目には見間違えそうです(笑)。

 

オリジナルとの比較

今回の繁体字版とオリジナルをいくつか比べてみました(^_-)-☆

《比較その1》

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《比較その2》

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《比較その3》

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実は、昨日根っからの文系のためのシンプル数学発想術ついても翻訳(中国・繁体字)のオファーがありました。私の力は微力ですが、拙書を通して数学を学ぶ意義と喜びを感じてくれる人が一人でも増えてくれることを願ってやみません。

必要条件と十分条件の使い方~【取材】おとなの数学活用術(日本フルハップ会員誌『まいんど』12月号)

 

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日本フルハップさんの会員広報誌「まいんど」の12月号に、先日の取材でお話した「おとなの数学活用術」が特集として掲載されました。

日本フルハップさんは、「中小企業における勤労者の福祉の向上を促進し、勤労者生活の質的向上を図ることを目的とした公益財団法人(HPより)」で、関西を中心に59万人(!)もの会員の方が加入されているそうです。取材の際もわざわざ関西から新幹線でお越しになりました。

数学の視点やノウハウをビジネスや暮らしに生かすためのアプローチとして私がご紹介したのは次の5つです。

  1. 因果関係や順序を守ろう
  2. 一般論と具体論を見極めよう
  3. 逆の視点を持とう
  4. 変換してみよう
  5. 掛け算で情報量を増やそう

改めて記事を拝見すると、例によって(?)マシンガンのように喋り倒した内容を、よくぞここまでかみ砕き、分かりやすい形でまとめていただいたものだと感心します。

本記事ではこの中から「1.因果関係や順序を守ろう」で触れた「必要条件と十分条件」について解説してみたいと思います。

 

必要条件と十分条件

必要条件と十分条件…ときどき耳にする言葉ですが、塾生の中でも2つの違いが理解できていない生徒さんは(学生も社会人も)多いです。社会人なら上司に

「お前は必要条件しか考えて無いじゃないか!ヽ(`Д´)ノ」

と怒られた経験がある人も少なくないでしょう。

まずは教科書的な定義から。


【必要条件と十分条件の定義】

P⇒(ならば)Qが真のとき
Pを(Qであるための)十分条件
Qを(Pであるための)必要条件

という。

注)「⇒」は「ならば」と読む論理記号です。


う~~ん、分かりづらいですよね。そこで、こんな例で考えてみましょう。

今、Pを「横浜市在住」、Qを「神奈川県在住」とすると、「PならばQ」すなわち「横浜市在住ならば神奈川県在住」はもちろん正しい命題(客観的に真偽が判定できる事柄)です。

これを図にすると

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のようになります。

このとき横浜市在住であることは、神奈川県在住であるために十分すぎるほど(お釣りがくるくらい)十分だという意味で横浜市在住のことを(神奈川県在住であるための)十分条件と言います。十分条件は「より厳しい条件」と言い換えることもできます。また上の例のように領域的に考えて「より小さい条件」が十分条件だと理解することも大切なことです。

一方、神奈川県在住であることは、横浜市在住であるために少なくとも必要だという意味で、神奈川県在住であることを(横浜市在住であるための)必要条件と言います。必要条件は十分条件の逆で「よりゆるい条件」あるいは「より大きい条件」と理解すると良いでしょう。

図にすると、こういうことです。

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明日のテストで学年トップになるための…

どうでしょうか?イメージが湧いてきましたか? ここで一つ例題を考えてみます。

 


【例題】
明日のテストで学年トップになるための必要条件と十分条件を言いなさい。


 

必要条件は、少なくとも必要な条件、言い換えれば最低限クリアしなくてはならない一番ゆるい条件です。何ですか?そうですね。「テストを受ける」ことです。他の人が全員0点なら、たとえ0点でも(全員同位ではありますが)「学年トップ」にはなれます。

一方、十分条件はどうでしょうか?こちらはお釣りがくるくらい十分な条件、言い換えれば一番厳しい条件を考えます。それは…「満点を取る」ことですね。まわりがどんなに優秀でも100点を取れば(同位が他にいたとしても)「学年トップ」になれることは確実です。

これを図にすると次のようになります。領域的に考えれば

テストを受ける>学年トップになる>満点を取る

になっていることに注意しましょう。

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必要条件と十分条件

 

『十分条件 ⇒ 必要条件』は必ず真(真偽の判定)

ある命題の真偽(正しいか間違っているか)を判定するには、この十分条件と必要条件の理解が必須です。これまで見てきたとおり、

十分条件 ⇒ 必要条件 はいつも「真」(正しい)

です。

十分条件=厳しい条件=「小」の条件
必要条件=ゆるい条件=「大」の条件

ことを考えれば、ある命題において

「小」の条件 ⇒ 「大」の条件 は真
「大」の条件 ⇒ 「小」の条件 は偽

と判定することができます。

では、このことを使って大学入試問題にチャレンジしてみましょう。

 


【問題(近畿大)】
命題「x<aならばx≦5である」が真であるような整数aのうち、最大のものを求めよ


 

【解答】

この命題が真になるためには「小 ⇒ 大」になっていれば良いわけです。。aが整数であることに注意すると、下の図より

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aが5より小さければ「小⇒大」になりますね。
いくつか書いてみると、

  • a=4なら「小⇒大」
  • a=5なら「小⇒大」
  • a=6なら「大⇒小」

となりますから、与えられた命題が真であるような最大の整数は5

だと分かります(^_-)-☆

 

詐欺を見抜く

一方、

「このツボを買えば癌が治る」

「英才教育を受ければ東大に合格する」

などの世間にはびこる「詐欺」の類はほとんど

「大」の条件(必要条件) ⇒ 「小」の条件(十分条件)

の形をしています。ツボを買った人の方が癌が治った人より(うんと)数は多いはずですし、英才教育を受けた人の中で東大に合格した人は(ごく)一部のはずだからです。

「なんか話がうますぎるなあ(・・?」

と思ったら相手の言い分が、

「大」の条件(必要条件) ⇒ 「小」の条件(十分条件)

になっていないかどうかをチェックする癖をつけると、騙されることが少なくなるかもしれません(∩_∩)

 

日本フルハップさんのCM

今回、日本フルハップさんに貴重な機会をいただけたことに大変感謝しています。お礼の気持をこめて(?)CMをご紹介します。

【助成篇】
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【ケガの保証篇】
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