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【新刊】ふたたびの微分・積分(すばる舎)

 

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4/12にすばる舎さんから出る新刊ふたたびの微分・積分の見本が届きました!\(^o^)/

本書は拙書としては初の本文2色刷りです。数式や図の理解を助けてもらうために2色刷りは是非とも実現したかったので、出版社さんに無理を言ってお願いしました。また全体の分量も企画段階で考えていたよりもおよそ2倍に増えています(・_・;)。担当の編集者さんに「紙幅の制約よりも分かりやすさ、内容第一でいきましょう」と言って頂いたおかげで書きたいことはすべて書かせていただきました。私の我儘を通して頂いて感謝しています。

 

本書のターゲット

  • 昔、表面的に微分・積分を学んでしまった理系の人
  • はじめて微分・積分を学ぶ意欲的な文系の人
  • 学校で習った微分・積分がよく分からない高校生

 

 

本書の特色

  • 高校数学の総括として、微分・積分の理解を完成させる
  • 直感でも理解できるように図やグラフを多用
  • 丁寧な式変形を通して数式計算の醍醐味が分かる
  • 問題が解ける喜びを味わえる

 

たとえば

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と計算できることを知ってはいても、これを証明できたり、その意味を説明できたりする人は理系でも実はそう多くありません。そしてそういう人の多くは 「微分・積分ね…。昔はそれなりにできたはずなんだけど、もうすっかり忘れたなあ。」 と思われていることでしょう。本書はまさにそんな方のためにあります!

ただし、内容は高校数学の範囲内に限りました。

「高校数学の頂点は微分・積分だ」 という人は多いですが、それは微分・積分が高校数学の中で一番難しいからではありません。難しさで言えば、整数や集合、確率も決してひけをとらないと思います。
微分・積分が高校数学の頂点たる所以は、微分積分を理解するためには、他の様々な単元の理解が必要だからです。微分・積分を学ぶとそれまでバラバラだった各単元が一つに収斂(しゅうれん)されていくのを感じることでしょう。私は高校時代微分・積分を通じて「ああ、あの単元はこのために勉強したのか」という感慨を何度も抱きました。
本書はそんな高校数学の頂に上り詰めるために必要な関数(三角関数、指数関数、対数関数)や数列、極限などの各内容も端折らずに原理原則から説明しています。そういう意味では山の中腹からではなく麓からナビゲートしているつもりです。

微分・積分には計算技法としての側面があります。しかしそれは決して小手先のテクニックではなく、人類が真実に到達するために獲得した尊い技術です。本書は、読者の皆さんに技術としての微分・積分計算の実際をお見せして「おお凄い!」と感動してもらったり、「なるほど!」と膝を打ったりしてもらうために、敢えて数式を避けませんでした。逆に、類書では省かれることが多い部分も含めて出来るだけ丁寧に書きました。結果として徹底的に「行間」を埋めた本になったと自負しています。また式変形の途中で使う公式や既習事項も紙幅の許す限り、数式の周辺に書き添えました。本書においては式変形の途中で「何をやっているか分からなくなった」と頓挫してしまうことはおそらくないだろうと思います。
もちろん数式だけでなく、文章でも読者の知的好奇心をくすぐる仕掛けはたくさん用意したつもりです。そこには数式変形に疲れた頭を休めるオアシス的な内容もあれば、「言語」として数学を捉えるために数式の意味を考察する内容もあります。

高校数学の頂は一歩一歩をちゃんと踏みしめれば必ず到達できるところにあります。あいにくロープウェイはありませんが、それだけに自分の足でその頂きに立った時の喜びはひとしおです。ご興味のある方は是非手にとってみてくださいm(_ _)m

 

目次

はじめに——高校数学の頂に立とう!

第1部【微分の巻】
まずは「関数とグラフ」のイロハから
変化を捉える第一歩——平均変化率 
「等差」数列の和、「等比」数列の和
遙か彼方を見よ——数列の極限
「分母にゼロ」を攻略——関数の極限
コラム:ゼロで割ってはいけない理由
「微分係数」は接線の傾きのこと
物理への応用①:瞬間の速度
順列・組み合わせと「二項定理」
微分係数の公式を自力で導く!
変化を分析する——導関数と増減表
外と! 中と!——合成関数の微分
数式変形で導く——積と商の微分
一気に復習①:三角比と三角関数
扇形で考える——三角関数の微分
コラム:日本人は微積分に到達していたか?
一気に復習②:累乗と指数関数
一気に復習③:対数と対数関数
対数関数と指数関数を、いざ微分!
応用編①:関数の最大値と最小値
応用編②:直線で近似する

第2部【積分の巻】
積分とは?——微積分の基本定理
不定積分と定積分の公式を導く
積分のテクニック——置換積分
コラム:記号の王様、天才ライプニッツ
定積分の応用①:面積を求める
定積分の応用②:体積を求める
物理への応用②:微分方程式
コラム:天気予報があたらない理由

おわりに——この先に見えるもの

 

紙面の紹介

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【TV出演】NHK(Eテレ)「テストの花道」~高校1年生や2年生がやっておくべき数学の基礎固め

 

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昨日放送のテストの花道(NHK Eテレ)に出演させていただきました。昨年の8月10月12月に続き4度目の貴重な機会に恵まれた事に感謝しています。今回のテーマは『今がチャンス!花道流基礎固め術』。私は全国の塾や予備校の先生が「高校1年生や2年生が今のうちにやっておくべきこと」として挙げられた項目のランキングについてコメントさせていただきました。

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数学の基礎固めランキング

気になる数学の基礎固めランキングはこうでした。

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数列について

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数列に関連する基礎固めのポイントは以下の5つです。

  1. 等比数列の和の公式は忘れてしまう公式ワースト3の 1つ(永野数学塾調べ)。
  2. 階差数列、漸化式を通して「相対化(引き算)」の極意をつかむ。
  3. 漸化式の様々な解法は数学的な考え方の宝庫(丸暗記せずに意味を考える)。
  4. Σ計算の訓練。
  5. 数学的帰納法(数列の単元の最後)の意味と使い方を理解する

等比数列の和の公式、大丈夫ですか?(^_-)-☆こういうものでしたね。

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ちなみにワースト3の残り2つは

  • 二項定理
  • 点と直線の距離の公式

です。不安な人は是非復習しておいてくださいね!(`・ω・´)ゞ

 

二次関数について

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三角関数、指数関数、対数関数、微分・積分などあらゆる場面に顔を出す二次関数に関連する基礎固めのポイントは以下の4つです。

  1. 「最大値・最小値問題」の取り組み方を学ぶ。
  2. 関数におけるグラフの重要性を認識する。 
  3. グラフの平行移動の基礎を学ぶ。
  4. 平方完成(という式変形)の習熟。

 

数学の「基礎」とは何か

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数学の場合、基礎を固めると言っても公式や解法をただ暗記するだけでは不十分です。公式と解法については次の2つを守りましょう。

・公式:証明ができるようにする。

・解法:なぜそうすると解けるのかを考える。

常々申し上げている通り、数学というのは「未知の問題に対応できる力」を養う学問です。上の2つはそのための、まさに『基礎』になります。

 

応用問題を解くために必要なこと

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Wikipedia

鉄鋼王のアンドリュー・カーネギーはかつてこう言いました。

大きな問題に直面したときは、その問題を一度に解決しようとせずに問題を細分化し、その1つ1つを解決するようにしなさい。

「基本問題はできるけれど応用問題が解けない」

と悩んでいる人は少なくないと思いますが、数学の場合応用問題が解けるようになるコツは次の2つです。

・“そもそも”の最初に戻る

・困難を分割して考える。

行き詰まったときは、原理・原則・定義に立ち戻る。これは数学のみならずすべての問題解決の基本であると私は考えます。逆に言えば、見たことのない問題を解こうとするときには

「円周率とは“そもそも”何か?」
「方程式とは“そもそも”何か?」
「関数とは“そもそも”何か?」

等の「最初」に戻ることが答えへの糸口を与えてくれます。

また、数学が得意な人は異口同音に

「どんな応用問題も基本問題の組み合わせに過ぎない」

と言います。もちろん世界中の人が寄ってたかっても歯がたたないような正真正銘の難問も世の中にはありますが、少なくとも大学入試レベルにおいては「難問」と言われる問題のほとんどは、基本問題の組み合わせに過ぎないことがほとんどです。

“そもそも”の最初に戻るにせよ、基本問題に分解するにせよ必要なのは本当の意味での基礎力です。逆にしっかりとした基礎力さえあれば、応用問題はきっと解けるようになります。

頑張ってください!
応援しています!!∩(*・∀・*)∩ファイト♪

※再放送は、2月22日(土)午前10時~10時30分です。

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【雑誌掲載】プレジデントファミリー算数大特集~「数学でつまずかないために算数の時から気をつけること」

 

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明日発売のプレジデント・ファミリー2014年3月号(←もう!)に、昨年末に取材して頂いたものが掲載されております。

 

取材テーマは 「実はカンタン!名教師12人の大作戦!わが子にミラクルが起きる『7日間プログラム』」でした。

私は中学受験は専門外ですし、普段小学生の生徒さんを教えているわけではないので算数に関する取材はいつもお断りしているのですが、今回は「中学受験に限ったものではなく、中学・高校の数学に繋がる基礎固めとしてお話いただきたい」という趣旨だったのでお受けしました。

「数学でつまずかないために算数の時から気をつけること」として私がお伝えしたかったのは(相変わらず)「丸暗記禁止!」ということです(^_-)-☆

 

数学が苦手になる人の共通点

私の塾の門を叩いてくれる人は、個別指導という性格上からかほとんどが数学が大の苦手になってしまった人たちです。彼ら彼女らに共通している点は2点。

  • 中学2年生の途中くらいまではそんなに苦手じゃなかった。
  • 「数学の勉強」=「解法を暗記して問題集を何回も解き直すこと」と思っている

原因も共通しています。

算数で身に染み付いてしまった丸暗記勉強法で数学に取り組んだから

です。

私は常々「算数とは既知の問題を解くためのもので、数学は未知の問題を解くためのもの」と言っています。それぞれの教科の目指すものはまるっきり違うのですから取り組む姿勢が違うのも当然です。

ただ、厄介なのは中学1年~中学2年くらいの間はまだ履修範囲が狭くて作れる問題のヴァリエーションが少ないので「丸暗記勉強法」でもそこそこの点数が取れてしまうところです。そのために「算数から数学に名前は変わったけれど、算数と同じようにやり方を覚えればいいんだな!」と勘違いしてしまう人が続出します。そうならないためにも算数の時から、たとえ解法や公式を丸暗記すれば解けてしまうような問題に対しても
「なぜこれで解けるのか?」
「この公式の意味は何なのか?」
を考える習慣を身につけておくことは大変重要です。

そこで今回の取材では、割り算には2つの意味があることや、難しい文章題には難しい理由があることなどを通して、公式や解法の意味を考えることの大切さをお話しました。また最後にはおまけ(?)としてこのブログでも書きました「計算ミスする4つの理由」を紹介しています。

今号のプレジデントファミリーは「1週間で算数を得意にする!」をテーマに80ページを超える大特集が組まれています。色々と興味深い記事が満載ですので、ご興味のある方はどうぞお手に取ってみてください。
m(_ _)m

【監修】おとなの算数 (日経ホームマガジン)

 

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今年の春に一部を監修させていただいた日経おとなのOFFの記事が、ムックになりました!
全国のセブンイレブンを中心に販売されるそうです。\(^o^)/ 本誌に比べてぐっとコンパクトサイズで持ち運びがしやすく、またレイアウトも読みやすくなっています。しかも(←ここ重要)お値段は500円と相当リーズナブルです!

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内容は

  • 算数で脳のアンチエイジング
  • 数学が得意になる!6つのアプローチ
  • “岩波メソッド"2桁×2桁の暗算を2時間でマスターする
  • “高濱式メソッド"「算数脳」をつくる
  • 判断力、分析力が必要な“難問"で脳トレ
  • 幾何学がつくり出す建築美
  • 時空を超えた数学で表す美の基準
  • おもしろ数学小噺
  • 和算入門 世界最高峰だった江戸時代の算術に迫る
  • 数学界のオールスターズ ひらめき列伝

など実に盛りだくさん!これで500円は本当にお買い得だと思います(しつこい)。

どの記事も大変興味深いのですが、個人的には「和算入門」が特に面白かったです。鎖国中の江戸時代にあって和算が世界の最高水準にあったのは、先人が(敢えて)解を付けずに出した問題に腕に憶えのある者が謎解き感覚で挑戦する「遺題継承」という文化があったからだと言われています。当時の江戸では学者でもなんでもない庶民がなんと「8次方程式」に挑戦していたそうです。こんな国は世界中を探しても他に類を見ません。私たち日本人のDNAにはそんな旺盛な知的好奇心が刻まれているのです!本書には当時の江戸庶民が夢中になった代表的な和算の問題がたくさんの図版と共に大変分かりやすくまとめられています。お正月休みに挑戦してみるのもいいかも!?(^_-)-☆

 

数学が得意になる!6つのアプローチ

私が監修させて頂いたのは「数学が得意になる!6つのアプローチ」です。タイトルだけご紹介します。

  1. 因果関係をおさえる(必要・十分を考える)
  2. 視覚化する
  3. 帰納的に考える
  4. 逆を考える
  5. ゴールからスタートする
  6. 対称性を見つける

この記事に関してはWEB版日本経済新聞でもご覧いただけます↓

ここが違う 数学が苦手な人、得意な人の「考え方」 :日本経済新聞

一応Amazonのリンクも貼っておきますが、セブンイレブンの方が手に入りやすいかもしれません
(^_-)-☆

 

【追記 2014年1月5日】
塾の近所のセブンイレブン(大和中央林間3丁目店)にもありました!(∩_∩)
日経ホームマガジン「大人の算数」セブンイレブン

【翻訳】『大人のための数学勉強法』の台湾版(繁体字)が届きました!

 

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大人のための数学勉強法の台湾版(中国語 繁体字)が届きました\(^o^)/この本の翻訳は簡体字に次いで2か国語目ですが、多くの人に読んでもらえる機会を頂けるのは本当に有難いことです。
感謝m(_ _)m

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左下が簡体字版、右下が今回の繁体字版
繁体字版はオリジナルにかなり近くて、遠目には見間違えそうです(笑)。

 

オリジナルとの比較

今回の繁体字版とオリジナルをいくつか比べてみました(^_-)-☆

《比較その1》

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《比較その2》

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《比較その3》

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実は、昨日根っからの文系のためのシンプル数学発想術ついても翻訳(中国・繁体字)のオファーがありました。私の力は微力ですが、拙書を通して数学を学ぶ意義と喜びを感じてくれる人が一人でも増えてくれることを願ってやみません。

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