Category Archives: 大人の数学

【新刊】統計学のための数学教室

 

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9/11(金)に新刊が出ます。タイトルは『 統計学のための数学教室 』です。

統計を学びたくても、そこに登場する数学がわからない。そんな方のために書きました。

以下は、「はじめに」からの抜粋です。

「統計リテラシー」の世代間格差

今年(2015年)の春、「新課程」の教育を受けたいわゆる「脱ゆとり世代」の第1期生が高校を卒業しました。彼らは理系・文系の区別なく「データの分析」という数学Iに新設された必須単元の中で、ヒストグラム、箱ひげ図、分散、標準偏差、相関係数といった統計の基礎を身につけています。

一方、1974年生まれの私も含め、ほとんどの社会人にとって統計は(履修する人が少ない)選択単元だったはずです。統計を学校で学んだことのある人はごく一部ではないでしょうか?

今更、私が言うまでもなく、昨今のビジネスシーンでは統計が使える能力、すなわち「統計リテラシー」が必須になっています。しかし2015年以降に高校を卒業する世代と、2015年以前に高校を卒業した世代の間には統計リテラシーの点において小さくはない「格差」があるのが現状です。

社会人が統計を理解できない理由

そんな社会情勢を映すように、永野数学塾(大人の数学塾)にいらっしゃる社会人からも

「統計を教えて欲しい」

というリクエストはとても多いです。私は最初

「これだけ世にたくさんの統計の本が出ているのに、わざわざ習いに来るということは、きっと踏み込んだ統計の話が聞きたいんだろう」

と想像していたのですが、実際に指導を始めてみるとほとんどの生徒さんは統計そのものより、そこに登場する数学に躓いていることが分かりました。統計本に出てくる中学~高校レベルの数学が分からないために本当に基礎的な統計のことが理解できずに止まってしまうのです。逆に言うと、数学に明るくなれば統計自体を学ぶことはたくさんの良書が助けてくれます(本書の巻末に参考文献をまとめました)。

しかし不思議なことに「統計に使う数学」そのものを解説している本はほとんどありません。だからこそ私は本書の筆を取りました。この本は学校で統計を習わなかった社会人が統計を自学自習するのに必要な数学を学んでもらう本です。

本書の内容

第1章【データを整理するための基礎知識】では
…基本用語を押さえて「脱ゆとり世代」に追いつこう
第2章【データを分析するための基礎知識】では
…√と乗法公式から標準偏差の意味を理解する
第3章【相関関係を調べるための数学】では
…2次方程式を使って、相関係数「−1 ≦ r ≦ 1」の謎を解く
第4章【バラバラのデータを分析するための数学】では
…確率とΣがわかれば確率変数が腑に落ちる
第5章【連続するデータを分析するための数学】では
…極限と積分で、正規分布と検定の本質をつかむ

詳しい内容は、こちらダイヤモンド社サイト)にある通りですが、本書では中学~高校で学ぶ数学の中から統計に必要な数学を厳選してあります。割り算の意味や割合(第1章)といった小学校レベルの算数から始まり、平方根、多項式の計算(第2章)、関数とグラフ(第3章)、場合の数、確率、Σ記号(第4章)、極限、積分(第5章)へと至ります。かなり盛りだくさんです。そのひとつひとつをできるだけ丁寧に説明しました。数学部分はもちろん、統計部分の解説も含めてここまで詳しく書いてある本は、他にはないだろうと自負しています。

今回も『 大 人のための数学勉強法 』、『 大人のための中学数学勉強法 』でご一緒したきたみりゅうじさんのイラストには大いに助けていただきました。また、監修の専修大学心理統計学研究室の岡田健介先生からは、統計の部分の解説に関して目から鱗が落ちまくるレクチャーを存分に頂き、それらはすべて紙面に反映させています。

それから、各章ごとに下のような数学と統計を結ぶフローチャートを載せたことも本書の大きな特徴です。

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フローチャートによって、ある統計量を理解するためにはどのような数学が必要になるかを一目で分かってもらえると思います。

本書では「脱ゆとり世代」が必須単元として学ぶ統計の内容は第3章までにまとめ、第4章では離散型データ(バラバラのデータ)の確率分布、第5章では連続型データの確率密度関数等を理解できるようになることを目指します。つまり集めたデータから必要な情報を読み取るいわゆる記述統計を総括し、部分的なデータから全体を推し量る推測統計の入り口までをご案内するのが本書の目的です。

統計のための数学は社会人に必須の数学リテラシー

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私は本書を書きながらつくづく思いました。ここに登場する数学は(統計のために選択したものではありますが)社会人ならば誰もが身につけておくべき「数学リテラシー」そのものだと。本書に登場する数学を身につけてもらえれば、数学に明るい商談相手に臆することはなくなるでしょうし、数字が踊る資料やExcelの関数を理解したり、グラフを使ってより説得力のあるプレゼンをしたりすることもきっとできるようになります。もちろん、論理的な思考力も磨くことができるでしょう。

ご興味のある方は是非、お手に取ってみてください。

【Amazon】

 

【出版社(ダイヤモンド社)サイト】立ち読みもできます!
この1冊で腑に落ちる 統計学のための数学教室 | 永野 裕之 著/岡田謙介 監修 | 書籍 | ダイヤモンド社

【新刊】初歩からわかる数学的ロジカルシンキング

 

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9月7日(月)にSCCさんから新刊が出ます。
タイトルは『 初歩からわかる数学的ロジカルシンキング 』です。

最近、どこかの知事さんが「高校教育で女子に(三角関数の)サイン、コサイン、タンジェントを教えて何になるのか」と発言して大きな問題になりました(その後、撤回されたようですが…)。

私は一数学教師として、この知事さんの発言には2つの論点から反論したいと思います。1つは、三角関数を大人になってから使う人は多くなくても、それを勉強しておかないと進めない道というのが確実にあるのだから―そして勉強とは将来の可能性を拡げるためにするものなのだから―まだ何者になるかが決まっていない高校生にとって「必要ない」とは決して言えないという点。それともう1つは、三角関数を通して学べる相似や周期性の応用範囲は驚くほど大きく、それは進路に関わらず身につけておくべきだという点です。

ただ、多くの方がこの知事さんの発言に怒りや驚きを禁じ得なかったのは、「女子に」というフレーズが付いていたから(女性蔑視に繋がるニュアンスを多分に含んでいるから)ではないのかな、と思う節も実はあります。もしこれが単に「高校生に三角関数は必要ない」という発言であれば、「うんうん。三角関数なんて僕も使ったことないよ。そもそも数学なんて苦労して勉強させられた割には全然役に立ってないもの」と密かに同調する大人は少なくなかったかもしれません。

本書は、そんな方にこそ読んでいただきたいと思います。

「数学的」ロジカルシンキングについて

最近はどこの書店でも、ビジネス書の一角にロジカルシンキング関連の書籍が並ぶようになりました。今や「ロジカルシンキング」という言葉を聞いたことのない人はほとんどいないのではないでしょうか?

「ロジカルシンキング」という言葉がこれほど広く知られるようになったのは、マッキンゼーをはじめ主にコンサルティング会社で磨かれたコミュニケーション力を高めるためのスキルが今世紀の初め頃から特に注目されるようになったからです。ここでいう「ロジカルシンキング」は、理解のしやすさと説得力を高めて、伝えたいことをできるだけ分かりやすく説明する方法のことを指します。

一方、ロジカルシンキング(logical thinking)を直訳すれば「論理的思考」となります。論理的思考というのは「A=BかつB=Cならば、A=C」に代表されるような、立場・主義・主張の如何を問わずどのような人間にとっても正しいことが明白な結論を導く考え方のことです。論理というブロックを積み上げることで真理を探求してきた哲学や数学の歴史とは論理的思考の歴史であると言っても過言ではありません。この意味における「ロジカルシンキング」は、ヒラメキや勘では太刀打ちできない問題を解決しようとするときに大きな力を発揮します。

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本書のタイトルは「ロジカルシンキング」の前に「数学的」と付いています。それは私が、上の2つの力を磨くのに数学ほど適した学問はない、と考えているからです!……なんて書くととても難しそうに思われるかもしれませんが、本書には難解な数学は全く登場しません。使うのは中学までの数学のごくごく基本的な部分だけです。数学の部分がわからない、ということはまずないと思います。

全体に、ドラえもんや婚活パーティーやワインの価格など身近な例を多数取り上げ、読者の皆さんがロジカルシンキングとそれに繋がる数学のイメージを膨らませやすいようにでき得る限り配慮したつもりです。

数学を苦手にしている人が(もちろん得意な人も)本書を通して数学から学ぶべきものをイメージしてもらえるようになれば、筆者としてこれ以上ない喜びです。

本書の内容

本書は
・第1章 コミュニケーションのための数学的ロジカルシンキング
・第2章 問題解決のための数学的ロジカルシンキング
・第3章 ツールとしての数学的ロジカルシンキング
の3章立てになっています。

第1章はロジカルシンキングにおける「コミュニケーション力」を磨いてもらうことが目的です。この章にはロジカルシンキングではお馴染みの「MECEな分類」、伝えたい内容に即した「グラフの使い方」、情報を増やすための「マトリックス」、論理的であるための最初の一歩である「定義の確認」、そして説得力を増すための「数字の使い方」などが書かれています。

第2章ではロジカルシンキングにおけるもう一つの側面「問題解決能力」を磨いていきます。この章には、因果関係の理解を助けてくれる「関数」、推論の基本である「演繹法と帰納法」、「ならば(⇒)」の正しい使い方を学ぶ「必要条件と十分条件」、そして正攻法では糸口が見つからない問題を攻略する2つの視点、すなわち逆の視点の「余事象」と否定の視点の「対偶と背理法」などが登場します。

最後の第3章では、ロジカルシンキングのためのツールとして使える数学を紹介します。MicrosoftやGoogleの入社試験で有名になった「フェルミ推定」、交渉における最適解を教える「ゲーム理論」、画期的なモデル化の一例として「グラフ理論」、そして現代人には欠かせない素養である統計から、データのばらつきを調べる「標準偏差」と相関関係を捉え未知なる値を予想する「回帰分析」を取り上げました。この章では特に理論的背景よりも、ツールとしての使い方に焦点をあてています(統計についての2つの節はExcelを使った計算方法がメインです)。

 

目次

序 章 数学的ロジカルシンキングのススメ
ロジカルシンキングとは
なぜロジカルである必要があるのか?
「数学的」とはどういうことか?
本書の使い方

第1章 コミュニケーションのための数学的ロジカルシンキング
1.1 思考を整理し困難を分割する
【MECEな分類とその効能】
1.2 目的別にグラフを使い分ける
【4種類のグラフとその使い方】
1.3 掛け算で情報を増やす
【マトリックス】
1.4 誤解をふせぐ
【定義の確認】
1.5 プレゼン力をあげる
【数字の上手な使い方】
練習問題
練習問題の解答・解説

第2章 問題解決のための数学的ロジカルシンキング
2.1 信用できる自動販売機を見極める
【関数と因果関係】
2.2 ドラえもんが生物として認められない理由
【演繹法と帰納法】
2.3 怪しげな壺を買わなくてもすむ方法
【必要条件と十分条件】
2.4 心理学テストに学ぶ「逆を考える視点」
【余事象】
2.5 名言とアリバイに学ぶ「否定の視点」
【対偶と背理法】
練習問題
練習問題の解答・解説

第3章 ツールとしての数学的ロジカルシンキング
3.1 地球外文明の数を見積もる
【フェルミ推定】
3.2 義理チョコは必要か?
【ゲーム理論】
3.3 婚活パーティーをモデル化する
【グラフ理論】
3.4 リーマン・ショックは「極めて異例」と言えるか?
【標準偏差】
3.5 ワイン方程式
【相関関係と回帰分析】
練習問題
練習問題の解答・解説

おわりに
ロジカルであるために一番大切なこと ~論理力は心で育つ~

参考文献

【出版社サイト】
3章の一部が立ち読みできます!
【SCC Books】初歩からわかる数学的ロジカルシンキング

【新刊】『ビジネス×数学=最強』~眠っていた論理力を呼び覚ます18の方法

 

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本日(6月9日)、すばる舎さんから新刊が出ます。

タイトルは『ビジネス×数学=最強~眠っていた論理力を呼び覚ます18の方法』です。

学生時代、数学に苦しんだ人は
「なんであんなに苦労して数学なんて勉強させられたんだ!?ヾ(*`Д´*)ノ"」
と怒りにも似た疑問をお持ちかもしれません。
本書はこの問いに対する私なりの"答え"でもあります。

(以下は本書の「はじめに」から引用・抜粋しBlog用にリライトしたものです)

数学力とは

そもそも「数学力」とは何でしょうか?
多くの文系の方が数学と聞いて連想するのは、方程式、関数、図形、ベクトル、確率、数列、微分・積分…などの単元名とそれに関連する数式やグラフのようです。あたなはどうですか? そして「数学力」とは数学の問題が解ける力のことだと思っていませんか?
本書の目的は、これが誤解であることに気づいてもらうことと、文系のあなたがすでに持っている「数学力」を使えるようになってもらうことです。

数学力とは、単に関数や方程式やベクトルの問題が解ける力のことではなく、ものごとを論理的に考えられる力、すなわち論理力のことです。三角関数も2次方程式も等差数列もこの能力を磨くための道具に過ぎません。

では「論理力」とはいったい何でしょうか?

一概には言えないかもしれませんが、私は
・人に自分の考えが伝えられる
・人の言っていることが分かる
という2つの力のことだと思っています。

人の上に立って自分の考えを皆に伝え、人々を引っ張っていくためには自分の考えを相手にきちんと伝えられる論理力が不可欠です。また、たとえ自分と考え方が違っても、人の意見が理解できるのも論理力のなせる業です。

「方程式を解いたり、図形の性質を証明したりしなくても論理力を磨くことはできるんじゃないの?」

という声もあるでしょう。確かにそうかもしれません。

でも、論理力を効率よく育てるためには、まずは誤解が入り込む余地のない言葉=数学を使って論理を積み上げる訓練をするのがもっとも近道なのです。だからこそ世界中の学校で文系、理系の区別なく数学は必須科目になっています。

数学力=論理力だとは書いてきましたが、論理的に考えることが理系の専売特許だなんて私はさらさら思っていません。むしろ、文系の方は自らが秘めた力に無意識なぶん理系よりものびしろがあるだろうと思いますし、さらには持ち前の国語力で数学を日常生活に活かしてもらえる可能性も非常に高いと思っています。

だからこそ私は本書の筆を取りました。

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本書の使い方

いま、

「そんなこといったって…数式を見ると、頭痛がしてくるし…」

と思ったあなた、ご安心ください。本書には数式はほとんど登場しません(わずかに登場するにしても中学レベル以下です)。

その代わり、できるだけ読者の皆さんの身近にある日常を引き合いに出し、そのなかに隠れている数学的なものの考え方(=論理的な考え方)を紹介するように心がけました。そして何より、「数学的なもの」を敬遠しがちな方にも読みやすいように、イラストや図版を多用しながら「わかりやすさ」には最も配慮して書いたつもりです。

また、各節(全部で18節あります)の最後には、会議の資料、プレゼン、マーケティング、商品開発…といったビジネスに直結する数学的スキル、さらには、接待、上司の説教、飲み会…といった仕事上のごく日常的なシーンを切り口に、「問題」を設けてあります。ぜひ、クイズに答えるような気持ちで考えてみてください。

 

なぜ「最強」なのか

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繰り返しますが、本書に紹介する「数学的」な考え方のほとんどは、すでにあたなの中にあるはずです。

しかし文系の方は、多く場合それに対して無意識です。

無意識のうちに数学的に考えることで得られたアイディアは本人にとっても周囲にとってもヒラメキに感じられ不確実なものですが、意識して数学的に考えられるようになれば「ヒラメキ」は必然のものになります。

ビジネスのあらゆるシーンで意識的に数学力を発揮できるようになれば、これほど心強いことはないでしょう。いま、この本を手にしてくれているあなたにも是非そうなってもらいたい―タイトルに「最強」ということばを使ったのはそんな私の願いと期待の現れです。

本書を読み終えたとき、

「あ、この考え方は『数学的』なのか。これからは意識して使ってみよう」

と思ってもらえれば、筆者としてこれ以上の喜びはありません。

 

本書の内容

第1章 数学的「情報整理」術……まとめ上手になろう

・MECEな分類
・掛け算的整理
・次元を増やす
・グラフの使い分け
・数値化
・相関係数

第2章 数学的「発想」術……ひらめき上手になろう
・一般化
・帰納
・演繹
・必要条件と十分条件
・定義の確認

第3章 数学的「問題解決」法……生きかた上手になろう
・余事象の利用
・立場を変える
・背理法
・微分
・積分
・ゲーム理論

詳しい目次は…『ビジネス×数学=最強』目次(PDF)

↓は出版社が付けてくれた内容紹介です。

本書は、誰もが本来もっている論理的思考力を呼び覚まします。著者によれば、文系の人は自らが秘めた力に無意識なぶん、むしろ「のびしろ」があるそうです。日々の仕事で選択に迷うとき、袋小路に入りこんだとき、数学は活路(=答え)を導く武器になるのです。まさに読んでナットク、知ってオトクな「実学数学」18講義。本書で「偶然」のヒラメキを意識的な「必然」に変えられる、最強ビジネスパーソンになってください。

出版社サイト→ビジネス×数学=最強 – 株式会社 すばる舎

数学(mathematics)の語源

 

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数学(mathmatics)の語源は、ギリシャ語の「マテーマタ(mathemata)」だと言われています。

マテーマタとは「学ぶべき事(複数形)」という意味です。つまり、最初「数学」と「学科」は同義でした。

古代ギリシャにおけるマテーマタ(数学=学科)は以下の4つを指します。

1)算術
2)音楽=応用数論
3)幾何学
4)天文学=球面学(動きの中の幾何学)

ちなみに、音楽が「応用数論」として捉えられていたのは、弦を「部分:全体=1:2」となる点でおさえると1オクターブ上の音、「部分:全体=2:3」となる点でおさえると5度の和音になって綺麗に調和することなどが知られていたからです。

注)そもそもオクターブや「ド」と「ソ」等の音程の関係について、最初にルールを作ったのは古代ギリシャの数学者ピタゴラス ( BC580頃~BC500) の学派でした。

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これら4つをまとめて「4科=クアドリヴィウム(quadrivium)」と言いました。

中世になるとこれに
「文法」
「修辞学」
「弁証法」
の「3学=トリヴィウム」が加わり、「3学4科」=「自由7科=リベラルアーツ(liberal arts)」へと発展しました。

「だから、どうした」というお話ではありますが、古代の「数学」の中に「音楽」と「天文学」が含まれていたのは個人的に大変嬉しいです(*´∀`*)

《参考図書》

【新刊】『東大教授の父が教えてくれた頭がよくなる勉強法』~プロローグ

 

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2014年1月。朝焼けが嘘みたいに綺麗な冬晴れの朝、最愛の父が他界しました。

父に胃癌が見つかったのは5年前のことです。それからは入退院を繰り返し、やがて肺や肝臓への転移も見つかりました。父が亡くなる前日、私は父を見舞いました。いよいよ死期が迫っていることを感じていた私はその日が最後の会話になるかもしれないと覚悟をしていましたし、おそらく父も同じ気持ちだったと思います。

何を話そうかと逡巡しながら病室のドアを開けた私の目に入ってきたのはしかし、初めて見る、酸素マスクを付けられた父の姿でした。既に意識はほとんどなく、まともな会話ができるような状況ではありません。
少なからず狼狽している私のもとに、程なくして担当のお医者様がいらっしゃいました。
「本日中かあるいは両日中には危険な状態です。ご家族を呼んでください。」

父、危篤…覚悟はしていたはずなのに、非情な現実が私の頭と心をむちゃくちゃに揺さぶりました。

夕方以降血圧と心拍が、まるでグライダーが着陸するかのように少しずつ下がりはじめます。そして翌日の朝午前7時15分、大きく2回「ふうっ」と息を吐いてから、静かに父は逝きました。
享年73歳でした。

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※病室から撮った朝焼け

父は、ピアニストで音楽教師だった祖父の家に6人兄弟の3男坊として生まれました。父の経歴はざっと次の通りです。
大阪府立豊中高校から東京大学理科一類に入学。同大学工学部航空学科を卒業後、43歳で同大学教養学部の教授に就任。退官後は埼玉工業大学学長。主な研究テーマは認知科学的視点からの知識情報処理(推論、学習、 知識獲得など)。 東京大学名誉教授。工学博士。瑞寶中綬章。

物心がついた時から父はずっと私の憧れであり目標でした。私の行動原理の根っこにはいつも「父に褒められたい」という願いがあったように思います。それだけに数年前に自分の年齢が父の半分に達してしまったときは、余りにも自分がまだ何も成し遂げられていないことに愕然としたものです。

私は今、一数学教師として数学を学ぶ意義と意味、そして楽しさを一人でも多くの方にお伝えすることをライフワークとしていますが、その方法論のほとんどは父から受け継いだものです。父が教えてくれた勉強法は、研究者としてあるいは教育者として父が長年積みあげてきた経験と信念に裏打ちされたものでした。それだけに説得力があり、また実際に効果のあがるものばかりです。
父を亡くした今、これらの勉強法を次世代にお伝えするのは息子として、というより教育者の端くれとしての私の責務ではないかと思い、本書の筆を取りました。

父は基本的に寡黙な人で、子どもに「~しなさい」と命令するようなことはない人でした。いつも書斎で穏やかに読書や書きものをしていた姿が目に焼き付いています。日曜日になると、そんな父に1週間分の質問をするのが楽しみでした。私が書斎を訪ねると、どんなときでも手を止めて必ず真剣に一緒になって考えてくれたものです。そうして父が導き出してくれる「答え」や「ヒント」は勉強に伴う漠然とした不安を払拭する精神的な心構えであったり、テストの点数を上げるための即効性のあるテクニックだったりしました。
我ながらなんと恵まれた環境にいたのだろうと思います。

本書は、学生さんのみならず、勉強しようという意欲のある人、あるいは勉強しなければいけない環境にある人なら、どなたにも役立ててもらえると自負しています。正しい勉強法を身につけるのにタイムリミットはありません。あなたが今、何歳であったとしても勉強のコツが分かった途端に、いかなることにも挑戦できるようになりますし、その多くを成し遂げることができるでしょう。
「勉強なんてしたくないなあ」
「こんなに勉強しているのに、なんでできるようにならないんだろう?」
「他人に負けないようにするにはどうしたらいいんだろう?」
などの悩みを抱える読者の皆様にとって本書が、私にとっての父のような存在になりますように…

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※父と姉と筆者(5歳)

お父さんへ
あの日、最後に言いたかった言葉を胸に書きました。
「たくさんのことを教えてくれて、ありがとう」

 

本書の主な内容

目次は…『東大教授の父が教えてくれた頭がよくなる勉強法』目次(PDF)

◎勉強ができるために必要な3つの要素
◎トップを狙う勉強と平均点を狙う勉強の違い
◎覚える力より考える力
◎本質にたどりつく最短思考法
◎プロセスを見る眼を養う魔法の言葉
◎熟考のススメ
◎目標の立て方
◎自信のつけ方
◎あらすじ勉強法
◎キッチンタイマー勉強法
◎主体的勉強のススメ
◎『今日学んだことノート』をつくる
◎記憶の3ステップ
◎記憶力を高める7つのポイント
◎ストーリ記憶法
◎イモヅル記憶法
◎永野式反復法
◎手は第二の脳
◎英語脳を手に入れる方法
◎『戻りま表』の活用
◎計算ミスをする4つの理由とその対処法
etc…

出版社サイト⇒東大教授の父が教えてくれた頭がよくなる勉強法(PHP研究所)

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