必要条件と十分条件の使い方~【取材】おとなの数学活用術(日本フルハップ会員誌『まいんど』12月号)


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日本フルハップさんの会員広報誌「まいんど」の12月号に、先日の取材でお話した「おとなの数学活用術」が特集として掲載されました。

日本フルハップさんは、「中小企業における勤労者の福祉の向上を促進し、勤労者生活の質的向上を図ることを目的とした公益財団法人(HPより)」で、関西を中心に59万人(!)もの会員の方が加入されているそうです。取材の際もわざわざ関西から新幹線でお越しになりました。

数学の視点やノウハウをビジネスや暮らしに生かすためのアプローチとして私がご紹介したのは次の5つです。

  1. 因果関係や順序を守ろう
  2. 一般論と具体論を見極めよう
  3. 逆の視点を持とう
  4. 変換してみよう
  5. 掛け算で情報量を増やそう

改めて記事を拝見すると、例によって(?)マシンガンのように喋り倒した内容を、よくぞここまでかみ砕き、分かりやすい形でまとめていただいたものだと感心します。

本記事ではこの中から「1.因果関係や順序を守ろう」で触れた「必要条件と十分条件」について解説してみたいと思います。

 

必要条件と十分条件

必要条件と十分条件…ときどき耳にする言葉ですが、塾生の中でも2つの違いが理解できていない生徒さんは(学生も社会人も)多いです。社会人なら上司に

「お前は必要条件しか考えて無いじゃないか!ヽ(`Д´)ノ」

と怒られた経験がある人も少なくないでしょう。

まずは教科書的な定義から。


【必要条件と十分条件の定義】

P⇒(ならば)Qが真のとき
Pを(Qであるための)十分条件
Qを(Pであるための)必要条件

という。

注)「⇒」は「ならば」と読む論理記号です。


う~~ん、分かりづらいですよね。そこで、こんな例で考えてみましょう。

今、Pを「横浜市在住」、Qを「神奈川県在住」とすると、「PならばQ」すなわち「横浜市在住ならば神奈川県在住」はもちろん正しい命題(客観的に真偽が判定できる事柄)です。

これを図にすると

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のようになります。

このとき横浜市在住であることは、神奈川県在住であるために十分すぎるほど(お釣りがくるくらい)十分だという意味で横浜市在住のことを(神奈川県在住であるための)十分条件と言います。十分条件は「より厳しい条件」と言い換えることもできます。また上の例のように領域的に考えて「より小さい条件」が十分条件だと理解することも大切なことです。

一方、神奈川県在住であることは、横浜市在住であるために少なくとも必要だという意味で、神奈川県在住であることを(横浜市在住であるための)必要条件と言います。必要条件は十分条件の逆で「よりゆるい条件」あるいは「より大きい条件」と理解すると良いでしょう。

図にすると、こういうことです。

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明日のテストで学年トップになるための…

どうでしょうか?イメージが湧いてきましたか? ここで一つ例題を考えてみます。

 


【例題】
明日のテストで学年トップになるための必要条件と十分条件を言いなさい。


 

必要条件は、少なくとも必要な条件、言い換えれば最低限クリアしなくてはならない一番ゆるい条件です。何ですか?そうですね。「テストを受ける」ことです。他の人が全員0点なら、たとえ0点でも(全員同位ではありますが)「学年トップ」にはなれます。

一方、十分条件はどうでしょうか?こちらはお釣りがくるくらい十分な条件、言い換えれば一番厳しい条件を考えます。それは…「満点を取る」ことですね。まわりがどんなに優秀でも100点を取れば(同位が他にいたとしても)「学年トップ」になれることは確実です。

これを図にすると次のようになります。領域的に考えれば

テストを受ける>学年トップになる>満点を取る

になっていることに注意しましょう。

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必要条件と十分条件

 

『十分条件 ⇒ 必要条件』は必ず真(真偽の判定)

ある命題の真偽(正しいか間違っているか)を判定するには、この十分条件と必要条件の理解が必須です。これまで見てきたとおり、

十分条件 ⇒ 必要条件 はいつも「真」(正しい)

です。

十分条件=厳しい条件=「小」の条件
必要条件=ゆるい条件=「大」の条件

ことを考えれば、ある命題において

「小」の条件 ⇒ 「大」の条件 は真
「大」の条件 ⇒ 「小」の条件 は偽

と判定することができます。

では、このことを使って大学入試問題にチャレンジしてみましょう。

 


【問題(近畿大)】
命題「x<aならばx≦5である」が真であるような整数aのうち、最大のものを求めよ


 

【解答】

この命題が真になるためには「小 ⇒ 大」になっていれば良いわけです。。aが整数であることに注意すると、下の図より

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aが5より小さければ「小⇒大」になりますね。
いくつか書いてみると、

  • a=4なら「小⇒大」
  • a=5なら「小⇒大」
  • a=6なら「大⇒小」

となりますから、与えられた命題が真であるような最大の整数は5

だと分かります(^_-)-☆

 

詐欺を見抜く

一方、

「このツボを買えば癌が治る」

「英才教育を受ければ東大に合格する」

などの世間にはびこる「詐欺」の類はほとんど

「大」の条件(必要条件) ⇒ 「小」の条件(十分条件)

の形をしています。ツボを買った人の方が癌が治った人より(うんと)数は多いはずですし、英才教育を受けた人の中で東大に合格した人は(ごく)一部のはずだからです。

「なんか話がうますぎるなあ(・・?」

と思ったら相手の言い分が、

「大」の条件(必要条件) ⇒ 「小」の条件(十分条件)

になっていないかどうかをチェックする癖をつけると、騙されることが少なくなるかもしれません(∩_∩)

 

日本フルハップさんのCM

今回、日本フルハップさんに貴重な機会をいただけたことに大変感謝しています。お礼の気持をこめて(?)CMをご紹介します。

【助成篇】
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【ケガの保証篇】
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