2=1の証明(0で割ってはいけない理由)


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130428

2=1?……そんなはずはありません。

でも、次のようにすれば「2=1」であることが「証明」できてしまいます…(騙されないで下さい!)

2=1の証明

いかがでしょうか?
これによると、確かに2=1ということになります。数学的に正しいと思うステップを積み上げたのに、明らかに誤った結果を得てしまいました。そんな事があり得るのでしょうか?実は上の1~6のステップのうち、1つだけ数学的に「正しくない」ステップが含まれています。どこだかお分かりですか?

この「証明」自体は数学の小ネタとして結構有名なのでご存知の方もいらっしゃると思いますが、そうです「4」のステップ「両辺を(xーy)で割ると」の部分に問題があります。

第1行に注目してください。最初に「x=y とします」と書いてありますね。つまり

です。ということで両辺を(x-y)で割るということが、両辺を0(ゼロ)で割ることになってしまっているのです。ここが破綻の原因です。

 

0で割ってはいけない理由

「数式を0(ゼロ)で割ってはいけません」

というのは皆さんご存知だと思います。では、いったいなぜ0で割ってはいけないのでしょうか?端的に言えば、数式を0で割ることを許すと、上の2=1の「証明」のように明らかにおかしな結論が得られてしまうからです。

他の例で見てみますと、

ということになって、「2=3=4」という、やはり明らかに間違った結論が得られてしまいます。数式を「0」で割るという行為はこのように誤った結論を導いてしまうので、これを禁止することにしているのです。

まだ納得できない方がいるかもしれませんね…今度はグラフを使って考えてみましょう。

のようになるのでしたね。
この時、分母のx に0に近い値を代入すると、対応するグラフ上の点がはるか上の方になる(yの値がとても大きくなる:赤の矢印)ことが分かると思います。そして、ちょうど0を代入しようとすると、そこにはグラフが「無い」ことにも気づくでしょう。つまり、ある数を0で割った数は「この世にない数」なのです。世の中に存在しない数を使って議論を進めることは、少なくとも数学的にはナンセンスだと言わざるを得ません。

 

0で割ると何が起きる?

例えばコンピューターがプログラム上、0で割り算をしようとすると、多くのコンピューターはエラーに繋がり、時折未処理のままプログラムが中断することになります。

実際、こんなことがありました。

1997年、アメリカの誘導ミサイル巡洋艦USSヨークタウンは、搭載コンピュータがが0による割り算を行ったために、全システムがダウンしてしまい、2時間30分にわたって航行不能に陥りました。後の報告によると搭載コンピュータのOSであったWindows NTそのものにあった0を過剰認識してゼロによる割り算を起こすエラーにより、回線がパンクしてしまったことが原因だったとのことです。もし、これが飛行機の搭載コンピューターであったなら、きっと乗組員の命はなかったことでしょう。

皆さんに(特に受験生に)もう一度念押しします。

命にかかわります!(`_´)ゞ


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