ミレニアム懸賞問題とグリゴリー・ペレルマン


 Clay Mathematics Institute

2000年の今日(5/24)、アメリカのクレイ数学研究所によって7つの数学上の未解決問題に、100万ドルの懸賞金がかけられました。これらの問題をミレニアム懸賞問題といいます。

(1)P≠NP予想

(2)ホッジ予想
(3)ポアンカレ予想 ※解決済
(4)リーマン予想

(5)ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題

(6)ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ 
(7)バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想(BSD予想)

どの問題も、大学の数学科に進んで専門的に学ばない限り、問題文の意味すら理解することが困難であるような超難問ばかりです(当たり前ですが…)。私には1つ1つの問題を分かりやすく解説することは大変難しいので(いつかやってみたいです!)、今日は「ポアンカレ予想」を解決したグリゴリー・ペレルマンという数学者について書いてみたいと思います。

グリゴリー・ペレルマン

ペレルマンはロシアに生まれた数学者。ペレルマンが2003年に発表したポアンカレ予想の証明を記した論文は、複数の数学者チームによって検証され2006年にその正しさが認められました。

ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせました。そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、
「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、
 それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、
 そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」

と語ったそうです。

トポロジー、微分幾何学…難しい用語が出てきちゃいましたが、それはひとまず横に置いておいて、とにかくペレルマンは誰も思いつかなかったような非常に独創的な手法でこの世紀の難問を解決したのでした(大雑把ですいません…)。

ペレルマンは16歳の時に数学オリンピックにて全問満点による金メダルを獲得するなど、正真正銘の数学の天才ですが、他の天才の例に漏れず彼も少々「変わり者」として知られています。

ペレルマンはポアンカレ予想解決の貢献により2006年に「数学界のノーベル賞」と言われているフィールズ賞を受賞しました。しかし、
「自分の証明が正しければ賞は必要ない」
として受賞を辞退しています(フィールズ賞の辞退は彼が初めて)。
また2010年に、クレイ数学研究所はペレルマンがポアンカレ予想を解決したと認定して、ミレニアム賞(副賞として100万ドル)授賞を発表しましたが、やはり彼は授賞式に姿を見せませんでした。

ペレルマンは以前にも昇進や欧州の若手数学者に贈られる賞を辞退するなどした経緯があり、賞金に全く興味を示さなかったり、自分の論文をあまり公表したがらない性格のようです。

現在は故郷で母親と共にわずかな貯金と母親の年金で細々と生活しているらしく消息は不明ですが、ひそかにケーラー・アインシュタイン計量 (Einstein-Kähler metric) の存在問題に取り組んでおり、数学者としての研究はいまだ放棄していないと言われています。趣味はキノコ狩り。

100万ドルは高い?安い?

…と確かにペレルマンは「変わり者」のようですが、私はペレルマンが賞金の受け取りを拒否した話を聞いたとき、どこか腑に落ちる感覚がありました。(あ、もちろん「勿体な~い」とも思いましたが…)

そもそも、100万ドルという賞金は高いのでしょうか、安いのでしょうか?

例えばポアンカレ予想は100年の歳月を経て解決された超難問です。100年の1人の不世出の天才の偉業をお金に換算するのだとしたら、100万ドルは安すぎると思います。

とは言え、これらの問題に取り組み、ある意味生涯を捧げようとする数学者たちは誰一人として

「100万ドルの賞金を取るぞお」

というモチベーションでは、挑んでいないと思います。彼らを衝き動かしているのは
「真理に近づきたい!」
という人間として根源的な欲求であり、それはまさに”プライスレス“なはずです。

科学者と芸術家の共通点


私は常々、科学者と芸術家はよく似ているなあと思っています。(cf.”数学と音楽2“)どちらもこの世界が美しいことを信じています。そして、その美しさは人間が愚かであるが故にまだ完璧には理解されていないと考え、それに近づこうとします。アプローチの方法は異なりますが、自然に存する真理の美しさは人生を捧げるのに相応しいと信じて疑わないからこそ、科学者であり、芸術家であるのだと私は思います。その熱い想いの前で

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